Question

给出集合A={-2，-1，，，，1，2，3}。已知a∈A，使得幂函数为奇函数，指数函数在区间(0，+∞)上为增函数。

（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；

（2）判断f(x)在(0，+∞)的单调性，并证明；

（3）解方程：f[g(x)]=g[f (x)]。

 

Answer 1

【答案】

（1）a=3

（2）f(x)=x³在(0，+∞)上为增函数

（3）x₁=0，x₂=，x₃=

【解析】解：（1）指数函数在区间(0，+∞)上为增函数，∴a>1，∴a只可能为2或3。而当a=2时，幂函数f(x)=x²为偶函数，只有当a=3时，幂函数f(x)=x³为奇函数故a=3…３分

（2）f(x)=x³在(0，+∞)上为增函数。                             

证明：在(0，+∞)上任取x₁，x₂，x₁<x₂，

f(x₁)-f(x₂)==，

∵x₁<x₂，∴x₁-x₂<0，>0，∴f(x₁)-f(x₂)>0，∴f(x₁)>f(x₂)。

∴f(x)=x³在(0，+∞)上为增函数。                                     …８分

（3）　　　　　　　　　　　．．．．１０分

根据指数函数的性质，得3x=x³，∴x₁=0，x₂=，x₃=。           …1２分