题目内容
已知圆x2+y2=4上任意一点G在y轴上的射影为H，点M满足条件2
=
+
，P为圆外任意一点．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点D(0，
)的直线l与轨迹C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两个不同点，已知向量m=(x1，
)，n=(x2，
)，若m•n=0，求直线AB的斜率k的值．
| PM |
| PH |
| PG |
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点D(0，
| 3 |
| y1 |
| 2 |
| y2 |
| 2 |
分析：（Ⅰ）设M（x，y），G（x0，y0），H（0，y），由2
=
+
⇒M为HG的中点，知
．由点G（x0，y0）在圆x2+y2=4上，知（2x）2+y2=4，点 此能M 轨同迹C的方程．
（Ⅱ）设AB的方程为y=kx+
．联立
⇒(k2+4)x2+2
kx-1=0，再由韦达定理结合题设条件能够求出直线AB的斜率k的值．
| PM |
| PG |
| PH |
|
（Ⅱ）设AB的方程为y=kx+
| 3 |
|
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）由题意知，设M（x，y），G（x0，y0），
则H（0，y），
∵2
=
+
⇒M为HG的中点，
∴
．…（3分）
∵点G（x0，y0）在圆x2+y2=4上，
∴（2x）2+y2=4，
∴点M轨迹C的方程为
+x2=1． …（6分）
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+
．
联立
⇒(k2+4)x2+2
kx-1=0，
∴x1+x2=
，x1x 2=
．…（8分）
由已知m•n=x1x2+
=x1x2+
(kx1+
)(kx2+
)
=(1+
)x1x2+
(x1+x2)+
=
(-
)+
•
+
．
由
(-
)+
•
+
=0，
解得k=±
． …（12分）
则H（0，y），
∵2
| PM |
| PG |
| PH |
∴
|
∵点G（x0，y0）在圆x2+y2=4上，
∴（2x）2+y2=4，
∴点M轨迹C的方程为
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+
| 3 |
联立
|
| 3 |
∴x1+x2=
-2
| ||
| k2+4 |
| -1 |
| k2+4 |
由已知m•n=x1x2+
| y1y2 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
=(1+
| k2 |
| 4 |
| ||
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| k2+4 |
| 4 |
| 1 |
| k2+4 |
| ||
| 4 |
-2
| ||
| k2+4 |
| 3 |
| 4 |
由
| k2+4 |
| 4 |
| 1 |
| k2+4 |
| ||
| 4 |
-2
| ||
| k2+4 |
| 3 |
| 4 |
解得k=±
| 2 |
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，具体涉及到椭圆的性质和点的轨迹的求法以圆的简单性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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