Question

（2008•成都二模）过抛物线x²=2y上两点A（-1，

1

2

）、B（2，2）分别作抛物线的切线，两条切线交于点M．
（1）求证：∠BAM=∠BMA；
（2）记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C，F₁、F₂为C的两个焦点，B₁、B₂为C的虚轴的两个端点，过点B₂作直线PQ分别交C的两支于P、Q，当

PB1

•

QB1

∈（0，4]时，求直线PQ的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由y=

1

2

x²，知y'=x，切于点A（-1，

1

2

）的切线方程为y-

1

2

=-（x+1），切于点B（2，2）的切线方程为y-2=2（x-2），联立解得M（

1

2

，-1），由|BA|=|BM|，能够证明∠BAM=∠BMA．
（2）设双曲线方程为mx²-ny²=1，由题意，知m-

1

4

n=1且4m-4n=1，故m=

5

4

，n=1，双曲线方程为

5

4

x²-y²=1．设B₁（0，1），B₂（0，-1），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），故

PB1

•

QB1

=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂∈（0，4]，设直线PQ的方程为y=kx-1（k必存在），再由根的判别式和韦达定理能求出直线PQ的斜率k的取值范围．

解答：解：（1）∵y=

1

2

x²，
∴y'=x，
切于点A（-1，

1

2

）的切线方程为y-

1

2

=-（x+1），
切于点B（2，2）的切线方程为y-2=2（x-2），
联立解得M（

1

2

，-1），
∵|BA|=|BM|，
∴∠BAM=∠BMA．
（2）设双曲线方程为mx²-ny²=1，
由题意，有m-

1

4

n=1且4m-4n=1，
解得m=

5

4

，n=1，
∴双曲线方程为

5

4

x²-y²=1，
不妨设B₁（0，1），B₂（0，-1），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴

PB1

=（-x₁，1-y₁），

QB1

=（-x₂，1-y₂），
∴

PB1

•

QB1

=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂∈（0，4]．
设直线PQ的方程为y=kx-1（k必存在），
由

y=kx-1 5x2 4 -y2=1

，
得（

5

4

-k²）x²+2kx-2=0
△=4k²+8（

5

4

-k²）＞0
x₁+x₂=

8k

4k2-5

，x₁x₂=

8

4k2-5

PB1

•

QB1

=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂
=x₁x₂+1-k（x₁+x₂）+2+k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
将x₁+x₂=

8k

4k2-5

，x₁x₂=

8

4k2-5

代入，
得

PB1

•

QB1

=

8

4k2-5

+1-k•

8k

4k2-5

+2+k2•

8

4k2-5

-k•

8k

4k2-5

+1
=

8-8k2

4k2-5

+4
=

8k2-12

4k2-5

．
∴

PB1

•

QB1

=

8k2-12

4k2-5

∈（0，4]，
即0＜

8k2-12

4k2-5

≤4，
∴

8k2-12 4k2-5 ＞0 8k2-12 4k2-5 ≤4

①   ②

，
由①得k2≤

5

4

，或k2＞

3

2

，
由②得k²≤1，或k2＞

5

4

，
故k²≤1，或k2＞

3

2

解得k∈（-∞，-

6

2

）∪[-1，1]∪（

6

2

，+∞）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力和论证推导能力，综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是计算量大，容易失误．解题时要认真审题，注意导数的合理运用．