Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F₁、F₂为双曲线C的左、右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，根据题意可得k=±1，所以双曲线C的方程为，C的一个焦点与A关于直线y=x对称，可得双曲线的焦点坐标进而求出双曲线的标准方程．
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT|=|QF₁|，根据双曲线的定义|TF₂|=2，再利用相关点代入法求出轨迹方程即可．
解答：解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx-y=0
∵该直线与圆 相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x…（3分）
故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为
∴2a²=2，a²=1，∴双曲线C的方程为x²-y²=1…（6分）
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|=|OF₁|
若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT|=|QF₁|…（8分）
根据双曲线的定义|TF₂|=2，所以点T在以F₂为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是①…（10分）
由于点N是线段F₁T的中点，设N（x，y），T（x_T，y_T）
则…（12分）
代入①并整理得点N的轨迹方程为 …（14分）
点评：本题主要考查双曲线的有关性质与定义，以及求轨迹方程的方法（如相关点代入法）．