Question

9．四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F分别为AC，BD的中点，AB=AD=2，∠BAC=60°．
（1）求证：CD⊥AF；
（2）求EF与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）先证明AD⊥BC，AB⊥BC，推出BC⊥平面ABD，得到BC⊥AF，AF⊥BD，证明AF⊥平面BCD，由此能推出AF⊥CD．
（2）以A为原点，过A在平面ABC内作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EF与平面BCD所成角的正弦值．

解答 （1）证明：∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥BC，
∵AB⊥BC，AB∩AD=A，
∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AF，
∵AB=AD，F为BD的中点，AF⊥BD又BC∩BD=B，
∴AF⊥平面BCD，
∵CD?平面BCD，∴AF⊥CD．
（2）解：以A为原点，过A在平面ABC内作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AD为z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，4，0），D（0，0，2），
E（0，2，0），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1$），
$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，4，-2），$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}，1，-2$），
设平面BCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=4y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{3}x+y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，2$），
设EF与平面BCD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+2}{\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{9}{4}+1}•\sqrt{3+1+4}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴EF与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，考查计算能力以及逻辑推理能力，是中档题．