Question

设A={1，2，…，10}，若“方程x²-bx-c=0满足b，c∈A，且方程至少有一根a∈A”，就称该方程为“漂亮方程”．则“漂亮方程”的总个数为

12

．

Answer 1

分析：根据题意，用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是b，进而可以确定方程，再依次分析c等于2、3、…10，分别分析、列举其“漂亮方程”的个数，由加法原理，计算可得答案．

解答：解：用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是b；
c=2 时，有2×1=2，b=2-1=1，则漂亮方程为x²-x-2=0；
c=3时，有3×1=3，b=3-1=2，则漂亮方程为x²-2x-3=0；
c=4时，有4×1=4，b=4-1=3，则漂亮方程为x²-3x-4=0，4=2×2，不符合集合元素的互异性，故排除；
c=5时，有5×1=5，b=5-1=4，则漂亮方程为x²-4x-5=0；
c=6时，有6×1=6，b=6-1=5，则漂亮方程为x²-5x-6=0，
同时，有2×3=6，b=3-2=1，则漂亮方程为x²-x-6=0；
c=7时，有7×1=7，b=7-1=6，则漂亮方程为x²-6x-7=0，
c=8时，有8×1=8，b=8-1=7，则漂亮方程为x²-7x-8=0，
同时，有2×4=8，b=4-2=2，则漂亮方程为x²-2x-8=0；
c=9时，有9×1=9，b=9-1=8，则漂亮方程为x²-8x-9=0，9=3×3，不符合集合元素的互异性，故排除；
c=10时，有10×1=10，b=10-1=9，则漂亮方程为x²-10x-9=0，
同时，有2×5=10，b=5-2=3，则漂亮方程为x²-3x-10=0；
综合可得，共12个漂亮方程，
故答案为12．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，分类计数原理的应用，注意分析题意，得到“漂亮方程”的定义，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．