题目内容
【题目】已知函数(
).
(Ⅰ)若曲线上点
处的切线过点
,求函数
的单调减区间;
(Ⅱ)若函数在
上无零点,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由导数几何意义得切线斜率,再由点斜式得切线方程,代入点可解得
,再根据函数
导函数小于零,解得单调减区间;(Ⅱ)先由题意得
,
恒成立,再变量分离转化为对应函数最值:
的最大值,最后利用导数求函数
,
最大值,经过二次求导可得
在区间
内为增函数,
,因此
.
试题解析:(Ⅰ)因为,所以
,
所以,又
,所以
,得
,
由,得
,所以函数
的单调减区间为
.
(Ⅱ)因为当→
时,
,所以
在区间
内恒成立不可能. 所以要使函数
在区间
内无零点,只要对任意的
,
恒成立,即对
,
恒成立.
令,
,则
.
再令,
,则
,
所以在区间
内为减函数,所以
,
∴.
于是在区间
内为增函数,所以
,
所以要使恒成立,只要
.
综上,若函数在区间
内无零点,则实数
的最小值为
.
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【题目】已知幂函数f(x)=x﹣m2+m+2(m∈Z)在(0,+∞)上单调递增.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(x)﹣ax+1,a为实常数,求g(x)在区间[﹣1,1]上的最小值.
【题目】如图所示,空间几何体中,四边形
是梯形,四边形
是矩形,且平面
平面
,
,
,
是线段
上的动点.
(1)求证: ;
(2)试确定点的位置,使
平面
,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,求空间几何体的体积.
【题目】(2017·全国卷Ⅲ文,18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.