Question

椭圆的中心在原点O，短轴长为2

3

，左焦点为F（-c，0）（c＞0），相应的准线l与x轴交于点A，且点F分

AO

的比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若PF⊥QF，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程为 设

x2

a2

+

y2

b2

=1，，由已知得到

a2

c

-c=3c，又c²+（

3

）²=a²，解得 a，c，最后写出椭圆的方程和离心率．
（2）设直线PQ的方程为y=k（x+4），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直的坐标关系公式即可求得k值，从而解决问题．

解答：解：（1）设

x2

a2

+

y2

b2

=1，则c²+（

3

）²=a²，准线l：x=

a2

c

，
由点F分

AO

的比为3，得

a2

c

-c=3c，
解得a²=4，c=1，得椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）设PQ：y=k（x+4），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F（-1，0）．
∵PF⊥QF，∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
即（x₁+1）（x₂+1）+k²（x₁+4）（x₂+4）=0，
（1+k²）x₁x₂+（1+4k²）（x₁+x₂）+（1+16k²）=0（4分）
联立

y=k(x+4) 3x2+4y2=12

，消去y得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0
∴x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

，x₁+x₂=-

32k2

3+4k2

（4分）
代入化简得8k²=1，∴k=±

2

4

．
∴直线PQ的方程为y=

2

4

（x+4）或y=-

2

4

（x+4）．（2分）

点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力．解答的关键是利用方程思想利用设而不求的方法求出k值．