题目内容
已知椭圆Γ的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3 |
3 |
π |
2 |
(1)求椭圆Γ的方程;
(2)若M、N是椭圆Γ上的两点,且满足
OM |
ON |
分析:(1)依题意,设直线l:x+
y=
与椭圆Γ:
+
=1交于A(x1,y1),B(x2,y2),由∠AOB=
,知x1x2+y1y2=0,而x1=
(1-y1),x2=
(1-y2),代入上式得到:4y1y2-3(y1+y2)+3=0.由此可求出椭圆Γ的方程.
(2)由题意知M、N是椭圆
+y2=1上的两点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r1sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ),由题设条件能够推出|MN|的最小值为
.
3 |
3 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
π |
2 |
3 |
3 |
(2)由题意知M、N是椭圆
x2 |
3 |
3 |
解答:解:(1)依题意,设直线l:x+
y=
与椭圆Γ:
+
=1交于A(x1,y1),B(x2,y2),
由∠AOB=
,知x1x2+y1y2=0,而x1=
(1-y1),x2=
(1-y2),代入上式得到:4y1y2-3(y1+y2)+3=0①
由|AB|=2知:|y1-y2|=2,即|y1-y2|=1,
不妨设y1>y2,则y2=y1+1,②
将②式代入①式求得:
或
,
∴A(
,
),B(-
,
)或A(
,0),B(0,1),
又A(
,
),B(-
,
)不合题意,舍去.
∴A(
,0),B(0,1),
故所求椭圆Γ的方程为
+y2=1.
(2)由题意知M、N是椭圆
+y2=1上的两点,且OM⊥ON,
故设M(r1cosθ,r1sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ),
于是r12(
+sin2θ)=1,r22(
+cos2θ)=1,
又(r12+r22)(
+
)=2+
+
≥4,
从而|MN|2•
≥4,即|MN|≥
,
故所求|MN|的最小值为
.
3 |
3 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
由∠AOB=
π |
2 |
3 |
3 |
由|AB|=2知:|y1-y2|=2,即|y1-y2|=1,
不妨设y1>y2,则y2=y1+1,②
将②式代入①式求得:
|
|
∴A(
| ||
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
3 |
2 |
3 |
又A(
| ||
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
3 |
2 |
∴A(
3 |
故所求椭圆Γ的方程为
x2 |
3 |
(2)由题意知M、N是椭圆
x2 |
3 |
故设M(r1cosθ,r1sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ),
于是r12(
cos2θ |
3 |
sin2θ |
3 |
又(r12+r22)(
1 | ||
|
1 | ||
|
| ||
|
| ||
|
从而|MN|2•
4 |
3 |
3 |
故所求|MN|的最小值为
3 |
点评:本题考查直线的圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.
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