题目内容

已知椭圆Γ的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+
3
y-
3
=0与椭圆Γ交于A、B两点,|AB|=2,且∠AOB=
π
2

(1)求椭圆Γ的方程;
(2)若M、N是椭圆Γ上的两点,且满足
OM
ON
=0,求|MN|的最小值.
分析:(1)依题意,设直线l:x+
3
y=
3
与椭圆Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1交于A(x1,y1),B(x2,y2),由∠AOB=
π
2
,知x1x2+y1y2=0,而x1=
3
(1-y1),x2=
3
(1-y2),代入上式得到:4y1y2-3(y1+y2)+3=0.由此可求出椭圆Γ的方程.
(2)由题意知M、N是椭圆
x2
3
+y2=1上的两点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r1sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ),由题设条件能够推出|MN|的最小值为
3
解答:解:(1)依题意,设直线l:x+
3
y=
3
与椭圆Γ:
x2
a2
+
y2
b2
=1交于A(x1,y1),B(x2,y2),
由∠AOB=
π
2
,知x1x2+y1y2=0,而x1=
3
(1-y1),x2=
3
(1-y2),代入上式得到:4y1y2-3(y1+y2)+3=0①
由|AB|=2知:|y1-y2|=2,即|y1-y2|=1,
不妨设y1>y2,则y2=y1+1,②
将②式代入①式求得:
y1=0
y2=1
y1=
1
2
y2=
3
2

∴A(
3
2
1
2
),B(-
3
2
3
2
)或A(
3
,0),B(0,1),
又A(
3
2
1
2
),B(-
3
2
3
2
)不合题意,舍去.
∴A(
3
,0),B(0,1),
故所求椭圆Γ的方程为
x2
3
+y2=1.
(2)由题意知M、N是椭圆
x2
3
+y2=1上的两点,且OM⊥ON,
故设M(r1cosθ,r1sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ),
于是r12
cos2θ
3
+sin2θ)=1,r22
sin2θ
3
+cos2θ)=1,
又(r12+r22)(
1
r
2
1
+
1
r
2
2
)=2+
r
2
1
r
2
2
+
r
2
2
r
2
1
≥4,
从而|MN|2
4
3
≥4,即|MN|≥
3

故所求|MN|的最小值为
3
点评:本题考查直线的圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.
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