Question

3．函数f（x）=x²+x+$\frac{1}{2}$，x∈（n，n+1）（n是整数）的值域中恰有10个不同整数，则n的值为-6或4．

Answer 1

分析 求出f（x）的对称轴，x=$-\frac{1}{2}$，可讨论对称轴和区间（n，n+1）的关系：分$n+1＜-\frac{1}{2}$，$n＜-\frac{1}{2}＜n+1$，和n$＞-\frac{1}{2}$三种情况，在每种情况里，根据二次函数f（x）的单调性或取得顶点情况及端点值求出f（x）的值域，而根据值域中恰有10个不同整数，可以得到对应的等差数列的项数为10，然后求出n即可．

解答 解：f（x）的对称轴为$x=-\frac{1}{2}$；
∴①$n+1＜-\frac{1}{2}$，即n$＜-\frac{3}{2}$时，f（x）在（n，n+1）上单调递减；
∴f（x）的值域为（f（n+1），f（n））=（${n}^{2}+3n+2+\frac{1}{2}$，${n}^{2}+n+\frac{1}{2}$）；
∴数列n²+3n+3，n²+3n+4，…，n²+n共10项；
∴n²+n=n²+3n+3+（10-1）•1；
n=-6；
②$n＜-\frac{1}{2}＜n+1$，即$-\frac{3}{2}＜n＜-\frac{1}{2}$时，n是整数，∴n=-1；
即x∈（-1，0）；
∴$f（x）∈（f（-\frac{1}{2}），f（0））=（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$；
显然不满足在值域中有10个不同整数，即这种情况不存在；
③$n＞-\frac{1}{2}$时，f（x）在（n，n+1）上单调递增；
∴f（x）的值域为（f（n），f（n+1））=（${n}^{2}+n+\frac{1}{2}$，${n}^{2}+3n+2+\frac{1}{2}$）；
∴等差数列n²+n+1，n²+n+2，…，n²+3n+2共10项；
∴n²+3n+2=n²+n+1+（10-1）•1；
∴n=4；
综上得n=-6或4．
故答案为：-6或4．

点评 考查函数值域的概念，二次函数的对称轴，以及根据二次函数的单调性及取得顶点情况和比较端点值的方法求二次函数的值域，等差数列的通项公式．