Question

8．求函数y=x+$\sqrt{2-{x}^{2}}$的最大值与最小值．

Answer 1

分析 设x=$\sqrt{2}$sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），则y=$\sqrt{2}$sinα+$\sqrt{2}$cosα=2sin（α+$\frac{π}{4}$），即可求函数y=x+$\sqrt{2-{x}^{2}}$的最大值与最小值．

解答 解：设x=$\sqrt{2}$sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），则y=$\sqrt{2}$sinα+$\sqrt{2}$cosα=2sin（α+$\frac{π}{4}$），
∵-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
∴函数y=x+$\sqrt{2-{x}^{2}}$的最大值是2，最小值为-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查求函数y=x+$\sqrt{2-{x}^{2}}$的最大值与最小值，考查三角函数知识，正确换元转化是关键．