Question

已知非负实数x，y满足x≠y，且

x2+ y2

x+y

≤4，则S=y-2x的最小值是

-2-2

10

．

Answer 1

分析：将已知不等式化为（x-2）²+（y-2）²≤8，结合圆的方程，得出不等式表示的平面区域，再结合线性规划问题解决．要注意分清何时取得最小值．

解答：解：由已知，将不等式

x2+ y2

x+y

≤4，化为x²+y²≤4（x+y），移向配方得（x-2）²+（y-2）²≤8，表示以C（2，2）为圆心，以2

2

为半径的圆及其内部在第一象限的部分（除去y=x），将S=y-2x变形为y=2x+S，当直线l：y=2x+S与圆相切于第一象限时，S取得最小值，由圆的切线性质，圆心C（2，2）到l的距离等于半径长．
即

|2+S|

5

= 2

2

，解得S=-2-2

10

，（S=-2+2

10

舍去），
 
故答案为：-2-2

10

，

点评：本题考查了圆的标准方程，线性规划问题，将不等式转化成圆的标准方程形式是关键．易错之处是将A（4，0）作为最小值点．