Question

（理）已知，
（1）若m≤2，求函数上的最小值；
（2）若函数在区间[1，+∞]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

（理）解：（1）
①若上的增函数，
所以…（3分）
②若时，由g'（x）=0
得到
且时，g'（x）≥0，
所以=；
…（6分）
（2）由条件得到在区间上是增函数且f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，在区间上恒成立，得到m≤1，…（9分）f（x）+2≥0在区间上恒成立，得到f（1）+2＞0，即m＞-3，
所以实数m的取值范围是：（-3，1]…（12分）
分析：（1）先求导函数，根据m≤2，可分类讨论：若上的增函数，所以；若时，由g'（x）=0，得
从而可知g（x）_min=g（x₂），故可求；
（2）由条件得到在区间上是增函数且f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，利用分离参数法及函数的单调性可求实数m的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查利用导数求函数的最值，考查函数的单调性，有一定的综合性．