题目内容

某港口的水深y(m)是时间t (0≤t≤24,单位:h)的函数,下表是该港口某一天从0:00时至24:00时记录的时间t与水深y的关系:
t(h) 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
经长时间的观察,水深y与t的关系可以用y=Asin(ωx+?)+h拟合.根据当天的数据,完成下面的问题:
(1)求出当天的拟合函数y=Asin(ωx+?)+h的表达式;
(2)如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m,船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m.那么该船在什么时间段能够进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间.(忽略离港所需时间)
(3)若某船吃水深度为8m,安全间隙(船底与海底的距离)为2.5.该船在3:00开始卸货,吃水深度以每小时0.5m的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,驶向较安全的水域?
分析:(1)根据数据,
A+h=13
-A+h=7
,可得A=3,h=10,由T=15-3=12,可求ω=
π
6
将点(3,13)代入可得?=0,从而可求函数的表达式;
(2)由题意,水深y≥4.5+7,即y=3sin
π
6
t+10≥11.5,t∈[0,24]
,从而可求t∈[1,5]或t∈[13,17];
(3)设在时刻x船舶安全水深为y,则y=10.5-0.5(x-3)(x≥3),若使船舶安全,则10.5-0.5(x-3)≥3sin
π
6
x+10
,从而可得3≤x≤7,即该船在7:00必须停止卸货,驶向较安全的水域.
解答:解:(1)根据数据,
A+h=13
-A+h=7

∴A=3,h=10,
T=15-3=12,
ω=
T
=
π
6

∴y=3sin(
π
6
x+?)+10
将点(3,13)代入可得?=0
∴函数的表达式为y=3sin
π
6
t+10(0≤t≤24)

(2)由题意,水深y≥4.5+7,
y=3sin
π
6
t+10≥11.5,t∈[0,24]

sin
π
6
t≥
1
2
π
6
t∈[2kπ+
π
6
,2kπ+
6
],k=0,1

∴t∈[1,5]或t∈[13,17];
所以,该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港.
若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.
(3)设在时刻x船舶安全水深为y,则y=10.5-0.5(x-3)(x≥3),
这时水深y=3sin
π
6
x+10

若使船舶安全,则10.5-0.5(x-3)≥3sin
π
6
x+10

2-0.5x≥3sin
π
6
x

∴3≤x≤7,
即该船在7:00必须停止卸货,驶向较安全的水域.
点评:本题以表格数据为载体,考查三角函数模型的构建,考查解三角不等式,同时考查学生分析解决问题的能力.
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