题目内容
某港口的水深y(m)是时间t (0≤t≤24,单位:h)的函数,下表是该港口某一天从0:00时至24:00时记录的时间t与水深y的关系:
经长时间的观察,水深y与t的关系可以用y=Asin(ωx+?)+h拟合.根据当天的数据,完成下面的问题:
(1)求出当天的拟合函数y=Asin(ωx+?)+h的表达式;
(2)如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m,船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m.那么该船在什么时间段能够进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间.(忽略离港所需时间)
(3)若某船吃水深度为8m,安全间隙(船底与海底的距离)为2.5.该船在3:00开始卸货,吃水深度以每小时0.5m的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,驶向较安全的水域?
t(h) | 0:00 | 3:00 | 6:00 | 9:00 | 12:00 | 15:00 | 18:00 | 21:00 | 24:00 |
y(m) | 10.0 | 13.0 | 9.9 | 7.0 | 10.0 | 13.0 | 10.1 | 7.0 | 10.0 |
(1)求出当天的拟合函数y=Asin(ωx+?)+h的表达式;
(2)如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m,船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m.那么该船在什么时间段能够进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间.(忽略离港所需时间)
(3)若某船吃水深度为8m,安全间隙(船底与海底的距离)为2.5.该船在3:00开始卸货,吃水深度以每小时0.5m的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,驶向较安全的水域?
分析:(1)根据数据,
,可得A=3,h=10,由T=15-3=12,可求ω=
将点(3,13)代入可得?=0,从而可求函数的表达式;
(2)由题意,水深y≥4.5+7,即y=3sin
t+10≥11.5,t∈[0,24],从而可求t∈[1,5]或t∈[13,17];
(3)设在时刻x船舶安全水深为y,则y=10.5-0.5(x-3)(x≥3),若使船舶安全,则10.5-0.5(x-3)≥3sin
x+10,从而可得3≤x≤7,即该船在7:00必须停止卸货,驶向较安全的水域.
|
π |
6 |
(2)由题意,水深y≥4.5+7,即y=3sin
π |
6 |
(3)设在时刻x船舶安全水深为y,则y=10.5-0.5(x-3)(x≥3),若使船舶安全,则10.5-0.5(x-3)≥3sin
π |
6 |
解答:解:(1)根据数据,
,
∴A=3,h=10,
T=15-3=12,
∴ω=
=
,
∴y=3sin(
x+?)+10
将点(3,13)代入可得?=0
∴函数的表达式为y=3sin
t+10(0≤t≤24)
(2)由题意,水深y≥4.5+7,
即y=3sin
t+10≥11.5,t∈[0,24],
∴sin
t≥
,
t∈[2kπ+
,2kπ+
],k=0,1,
∴t∈[1,5]或t∈[13,17];
所以,该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港.
若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.
(3)设在时刻x船舶安全水深为y,则y=10.5-0.5(x-3)(x≥3),
这时水深y=3sin
x+10,
若使船舶安全,则10.5-0.5(x-3)≥3sin
x+10,
即2-0.5x≥3sin
x,
∴3≤x≤7,
即该船在7:00必须停止卸货,驶向较安全的水域.
|
∴A=3,h=10,
T=15-3=12,
∴ω=
2π |
T |
π |
6 |
∴y=3sin(
π |
6 |
将点(3,13)代入可得?=0
∴函数的表达式为y=3sin
π |
6 |
(2)由题意,水深y≥4.5+7,
即y=3sin
π |
6 |
∴sin
π |
6 |
1 |
2 |
π |
6 |
π |
6 |
5π |
6 |
∴t∈[1,5]或t∈[13,17];
所以,该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港.
若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.
(3)设在时刻x船舶安全水深为y,则y=10.5-0.5(x-3)(x≥3),
这时水深y=3sin
π |
6 |
若使船舶安全,则10.5-0.5(x-3)≥3sin
π |
6 |
即2-0.5x≥3sin
π |
6 |
∴3≤x≤7,
即该船在7:00必须停止卸货,驶向较安全的水域.
点评:本题以表格数据为载体,考查三角函数模型的构建,考查解三角不等式,同时考查学生分析解决问题的能力.
练习册系列答案
相关题目
下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深.
时刻 | 0:00 | 3:00 | 6:00 | 9:00 | 12:00 | 15:00 | 18:00 | 21:00 | 24:00 |
水深/m | 5.0 | 8.0 | 5.0 | 2.0 | 5.0 | 8.0 | 5.0 | 2.0 | 5.0 |
(2)若一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m,安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙(船底与海底的距离),试用(1)中的函数关系判断该船何时能进入港口?
某港口的水深y(m)是时间t (0≤t≤24,单位:h)的函数,下表是该港口某一天从0:00时至24:00时记录的时间t与水深y的关系:
t(h) | 0:00 | 3:00 | 6:00 | 9:00 | 12:00 | 15:00 | 18:00 | 21:00 | 24:00 |
y(m) | 10.0 | 13.0 | 9.9 | 7.0 | 10.0 | 13.0 | 10.1 | 7.0 | 10.0 |
(1)求出当天的拟合函数y=Asin(ωx+?)+h的表达式;
(2)如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m,船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m.那么该船在什么时间段能够进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间.(忽略离港所需时间)
(3)若某船吃水深度为8m,安全间隙(船底与海底的距离)为2.5.该船在3:00开始卸货,吃水深度以每小时0.5m的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,驶向较安全的水域?
某港口的水深y(m)是时间t (0≤t≤24,单位:h)的函数,下表是该港口某一天从0:00时至24:00时记录的时间t与水深y的关系:
经长时间的观察,水深y与t的关系可以用y=Asin(ωx+ϕ)+h拟合.根据当天的数据,完成下面的问题:
(1)求出当天的拟合函数y=Asin(ωx+ϕ)+h的表达式;
(2)如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m,船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m.那么该船在什么时间段能够进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间.(忽略离港所需时间)
(3)若某船吃水深度为8m,安全间隙(船底与海底的距离)为2.5.该船在3:00开始卸货,吃水深度以每小时0.5m的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,驶向较安全的水域?
t(h) | 0:00 | 3:00 | 6:00 | 9:00 | 12:00 | 15:00 | 18:00 | 21:00 | 24:00 |
y(m) | 10.0 | 13.0 | 9.9 | 7.0 | 10.0 | 13.0 | 10.1 | 7.0 | 10.0 |
(1)求出当天的拟合函数y=Asin(ωx+ϕ)+h的表达式;
(2)如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m,船舶安全航行时船底与海底的距离不少于4.5m.那么该船在什么时间段能够进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间.(忽略离港所需时间)
(3)若某船吃水深度为8m,安全间隙(船底与海底的距离)为2.5.该船在3:00开始卸货,吃水深度以每小时0.5m的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,驶向较安全的水域?