题目内容

下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深/m 5.0 8.0 5.0 2.0 5.0 8.0 5.0 2.0 5.0
（1）若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+b（其中A＞0，ω＞0，b∈R）来近似描述，求A，ω，b的值；
（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2.5m的安全间隙（船底与海底的距离），试用（1）中的函数关系判断该船何时能进入港口？

解：（1）由已知数据，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=3，b=5，所以ω= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（2）由（1）知y=3sin（ $\text{[math]}$ t）+5（0≤t≤24）；
由该船进出港时，水深应不小于4+2.5=6.5（m），
∴当y≥6.5时，货船就可以进港，即3sin（ $\text{[math]}$ t）+5≥6.5，
∴sin（ $\text{[math]}$ t）≥0.5，
∵0≤t≤24，∴0≤ $\text{[math]}$ t≤4π
∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ t≤ $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ t≤ $\text{[math]}$ ，
所以1≤t≤5或13≤t≤17．
故该船可在当日凌晨1：00～5：00和13：00～17：00进入港口．
分析：（1）利用已知数据，确定合适的周期、振幅等，即可得出函数解析式；
（2）寻求变量之间的关系，建立不等式，从而可求该船何时能进入港口．
点评：解具有周期变化现象的实际问题关键是能抽象出三角函数模型，解决的步骤是：审题，建模，求解，还原