Question

对一切实数x，若一元二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜b）的值恒为非负数，则M=

a+b+c

b-a

的最小值为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由于二次函数的值恒为非负数，推出a＞0，△≤0得到c≥

b2

4a

，化简所求表达式，通过二次函数对应的根的范围，结合韦达定理，求出a的范围即可．

解答：解：由于二次函数的值恒为非负数，所以，a＞0，△=b²-4ac≤0⇒c≥

b2

4a

，
所以，M=

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 4a

b-a

=

1+ b a +  1 4 ( b a )2

b a -1

，
可以设y=

1+ b a + 1 4 ( b a )2

b a -1

⇒

1

4

•(

b

a

)2 +(1-y)•

b

a

+1+y=0，
因为△≥0⇒y≥3或者y≤0
由于0＜a＜b 所以，

1

4

•(

b

a

)2 +(1-y)•

b

a

+1+y=0的两根之和为：4（y-1）＞2⇒y＞

3

2

，
所以，y≥3 所以，所求表达式的最小值为3．
故选C．

点评：本题是中档题，考查二次函数判别式的应用，考查韦达定理的应用，考查计算能力．