题目内容
已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若f（x）满足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，f（2-x）=f（x）e2-2x，则下列判断一定正确的是（ ）
分析：由已知f（2-x）=f（x）e2-2x，变形得
=
，因此考虑可构造函数g（x）=
，可得g′(x)=
．利用已知f（x）满足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，即可得出f（x）单调递减．可得g（-1）＞g（0）．即
＞
=f(0)．利用f（2-x）=f（x）e2-2x，可得f（3）=f（-1）e4＞e-1f（0）•e4=e3f（0）．即可
| f(2-x) |
| e2-x |
| f(x) |
| ex |
| f(x) |
| ex |
| f′(x)-f(x) |
| ex |
| f(-1) |
| e-1 |
| f(0) |
| e0 |
解答：解：令g（x）=
，则g′(x)=
．
∵f（x）满足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，
∴当x＜1时，f′（x）-f（x）＜0．∴g′（x）＜0．此时函数g（x）单调递减．
∴g（-1）＞g（0）．即
＞
=f(0)．
∵f（2-x）=f（x）e2-2x，∴f（3）=f（-1）e4＞e-1f（0）•e4=e3f（0）．
故选C．
| f(x) |
| ex |
| f′(x)-f(x) |
| ex |
∵f（x）满足：（x-1）[f′（x）-f（x）]＞0，
∴当x＜1时，f′（x）-f（x）＜0．∴g′（x）＜0．此时函数g（x）单调递减．
∴g（-1）＞g（0）．即
| f(-1) |
| e-1 |
| f(0) |
| e0 |
∵f（2-x）=f（x）e2-2x，∴f（3）=f（-1）e4＞e-1f（0）•e4=e3f（0）．
故选C．
点评：本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性基本方法，恰当构造函数是解题的关键，属于中档题．
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