题目内容
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(Ⅰ)求的极值点;
(Ⅱ)当时,若方程在上有两个实数解,求实数t的取值范围;
(Ⅲ)证明:当时,。
(Ⅰ)①时,, ∴在(-1,+∞)上是增函数,函数既无极大值点,也无极小值点;②当时,在上递增,在单调递减,函数的极大值点为-1,无极小值点;③当时,在上递减,在单调递增,函数的极小值点为-1,无极大值点;(Ⅱ)当时,方程有两解;(Ⅲ)详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)求的极值点,先求函数的定义域为,然后可对函数求导数得,令导数等零,求出的解,再利用导数大于0,导数小于0,判断函数的单调区间,从而确定极值点,但本题由于含有参数,需对讨论(Ⅱ)当时,若方程在上有两个实数解,求实数t的取值范围,由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减,而,由此可得实数t的取值范围;(Ⅲ)根据要证明当时,,直接证明比较困难,可以利用分析法来证明本题,从结论入手,要证结论只要证明后面这个式子成立,两边取对数,构造函数,问题转化为只要证明函数在一个范围上成立,利用导数证明函数的性质.
试题解析:(Ⅰ)(1分)
①时,, ∴在(-1,+∞)上是增函数,函数既无极大值点,也无极小值点。(2分)
②当时,在上递增,在单调递减,函数的极大值点为-1,无极小值点(3分)
③当时,在上递减,在单调递增,函数的极小值点为-1,无极大值点(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减,
又,
∴,∴当时,方程有两解 (8分)
(Ⅲ)要证:只须证
只须证:,
设
则,(10分)
由(1)知在单调递减,(12分)
∴,即是减函数,而m>n,
∴,故原不等式成立。 (14分)
考点:不等式的证明;利用导数研究函数的单调性.
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