题目内容
我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（1）请你选取一个m的值，使对函数f（x）=sinmx，x∈R的图象上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标
（2）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（1，2），与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．
（3）对于（2）中的m值，函数f（x）=sinx，x∈[0，
| 5 | 9 |
分析：（1）取m=
，可求相应正格点坐标；
（2）作出两个函数图象，利用图象可知正格点交点只有一个点为（10，1），从而有2kπ+
=10m，m=
π，(k∈z)，m∈(1，2)，所以m=
，故可解；
（3）利用（2）的图象，分a＞1、0＜a＜1进行讨论．
| π |
| 2 |
（2）作出两个函数图象，利用图象可知正格点交点只有一个点为（10，1），从而有2kπ+
| π |
| 2 |
| 4k+1 |
| 20 |
| 9π |
| 20 |
（3）利用（2）的图象，分a＞1、0＜a＜1进行讨论．
解答：
解：（1）若取m=
时，
正格点坐标（1，1），（5，1）（9，1）等（答案不唯一）…（2分）
（2）作出两个函数图象，可知函数f（x）=sinmx，x∈R，与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点只有一个点为（10，1）（4分）
∴2kπ+
=10m，m=
π，(k∈z)，m∈(1，2)，
∴m=
．…（6分）
根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为5个．（注意：最后两个点非常接近，几乎粘合在一起．）…（7分）
（3）由（2）知f(x)=sin
x，x∈[0，
]，
∴①当a＞1时，不等式logax＞sinmx不能成立…（8分）
②当0＜a＜1时，由图（2）可知loga
＞sin
=
，∴(
)
＜a＜1…（10分）
解：（1）若取m=| π |
| 2 |
正格点坐标（1，1），（5，1）（9，1）等（答案不唯一）…（2分）
（2）作出两个函数图象，可知函数f（x）=sinmx，x∈R，与函数g（x）=lgx的图象有正格点交点只有一个点为（10，1）（4分）
∴2kπ+
| π |
| 2 |
| 4k+1 |
| 20 |
∴m=
| 9π |
| 20 |
根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为5个．（注意：最后两个点非常接近，几乎粘合在一起．）…（7分）
（3）由（2）知f(x)=sin
| 9π |
| 20 |
| 5 |
| 9 |
∴①当a＞1时，不等式logax＞sinmx不能成立…（8分）
②当0＜a＜1时，由图（2）可知loga
| 5 |
| 9 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
| 5 |
| 9 |
| 2 |
点评：本题考查新定义，考查数形结合的思想，正确理解新定义时关键．
练习册系列答案
相关题目
]时，不等式logax＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．
上的点
，满足
的点称为函数
的“正格点”．
的值，使对函数
的图像上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标．
与函数
的图像有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图像的所有交点个数．
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
]时，不等式logax＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．