题目内容
已知数列an=n-16，bn=（-1）n|n-15|，其中n∈N*．
（1）求满足an+1=|bn|的所有正整数n的集合；
（2）若n≠16，求数列
的最大值和最小值；
（3）记数列{an bn}的前n项和为Sn，求所有满足S2m=S2n（m＜n）的有序整数对（m，n）．
（1）求满足an+1=|bn|的所有正整数n的集合；
（2）若n≠16，求数列
| bn |
| an |
（3）记数列{an bn}的前n项和为Sn，求所有满足S2m=S2n（m＜n）的有序整数对（m，n）．
（1）∵an+1=|bn|，
∴n-15=|n-15|，
∴当n≥15时，an+1=|bn|恒成立，
当n＜15时，n-15=-（n-15），
∴n=15
n的集合{n|n≥15，n∈N*}…．…．…．（4分）
（2）∵
=
（i）当n＞16时，n取偶数
=
=1+
当n=18时（
）max=
无最小值
n取奇数时
=-1-
n=17时（
）min=-2无最大值 …（8分）
（ii）当n＜16时，
=
当n为偶数时
=
=-1-
n=14时（
）max=-
（
）min=-
当n奇数
=
=1+
，n=1，（
）max=1-
=
，
n=15，（
）min=0 …（11分）
综上，
最大值为
（n=18）最小值-2（n=17）…．…..…．（12分）
（3）n≤15时，bn=（-1）n-1（n-15），
a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 （16-2k）≥0，
n＞15时，bn=（-1）n（n-15），
a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 （2k-16）＞0，其中a15b15+a16b16=0
∴S16=S14 m=7，n=8…．（16分）
∴n-15=|n-15|，
∴当n≥15时，an+1=|bn|恒成立，
当n＜15时，n-15=-（n-15），
∴n=15
n的集合{n|n≥15，n∈N*}…．…．…．（4分）
（2）∵
| bn |
| an |
| (-1)n|n-15| |
| n-16 |
（i）当n＞16时，n取偶数
| bn |
| an |
| n-15 |
| n-16 |
| 1 |
| n-16 |
当n=18时（
| bn |
| an |
| 3 |
| 2 |
n取奇数时
| bn |
| an |
| 1 |
| n-16 |
n=17时（
| bn |
| an |
（ii）当n＜16时，
| bn |
| an |
| (-1)n(n-15) |
| n-16 |
当n为偶数时
| bn |
| an |
| -(n-15) |
| n-16 |
| 1 |
| n-16 |
n=14时（
| bn |
| an |
| 1 |
| 2 |
| bn |
| an |
| 13 |
| 14 |
当n奇数
| bn |
| an |
| n-15 |
| n-16 |
| 1 |
| n-16 |
| bn |
| an |
| 1 |
| 15 |
| 14 |
| 15 |
n=15，（
| bn |
| an |
综上，
| bn |
| an |
| 3 |
| 2 |
（3）n≤15时，bn=（-1）n-1（n-15），
a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 （16-2k）≥0，
n＞15时，bn=（-1）n（n-15），
a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 （2k-16）＞0，其中a15b15+a16b16=0
∴S16=S14 m=7，n=8…．（16分）
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