题目内容

根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式
观察法:(1)f(x+
1
x
)=x2+
1
x2
求f(x);
换元法:(2)f(x-2)=x2+3x+1求f(x);
待定系数法:(3)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);
复合函数的解析式:(4)已知f(x)=x2-1,g(x)=
x+1
,求f[g(x)]]和g[f(x)]的解析式,交代定义域.
(1)∵f(x+
1
x
)=x2+
1
x2
=(x+
1
x
)
2
-2,∴f(x)=x2-2(x≠0);

(2)设t=x-2,则x=t+2,代入得:f(t)=(t+2)2+3(t+2)+1=t2+7t+11,
∴f(x)=x2+7x+11;

(3)由题意设f(x)=ax+b,
∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,
∴3a(x+1)+3b-2a(x-1)-2b=2x+17,即ax+5a+b=2x+17,
则a=2且5a+b=17,解得a=2,b=7;
∴f(x)=2x+7.

(4)∵f(x)=x2-1,g(x)=
x+1
(x≥-1),
∴f[g(x)]]=x+1-1=x(x≥-1),
∵x2-1≥-1,
∴g[f(x)]=
x2-1+1
=|x|,且定义域是[-1,+∞).
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