题目内容

已知复数均为实数,为虚数单位,且对于任意复数
(1)试求的值,并分别写出表示的关系式;
(2)将()作为点的坐标,()作为点的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点变到这一平面上的点
当点在直线上移动时,试求点经该变换后得到的点的轨迹方程;
(3)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由。
(1)
(2)点的轨迹方程为
(3)这样的直线存在,其方程为
(1)由题设,
于是由,                           
因此由
得关系式                                
(2)设点在直线上,则其经变换后的点满足
,                                  
消去,得
故点的轨迹方程为                       
(3)假设存在这样的直线,∵平行坐标轴的直线显然不满足条件,
∴所求直线可设为,                           
法一:∵该直线上的任一点,其经变换后得到的点
仍在该直线上,


时,方程组无解,
故这样的直线不存在。                                           
时,由

解得
故这样的直线存在,其方程为,                      
法二:取直线上一点,其经变换后的点仍在该直线上,

,                                           
故所求直线为,取直线上一点,其经变换后得到的点仍在该直线上。
,                                   
,得
故这样的直线存在,其方程为,          
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