题目内容
已知复数均为实数,为虚数单位,且对于任意复数。
(1)试求的值,并分别写出和用、表示的关系式;
(2)将(、)作为点的坐标,(、)作为点的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点变到这一平面上的点,
当点在直线上移动时,试求点经该变换后得到的点的轨迹方程;
(3)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由。
(1)试求的值,并分别写出和用、表示的关系式;
(2)将(、)作为点的坐标,(、)作为点的坐标,上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点变到这一平面上的点,
当点在直线上移动时,试求点经该变换后得到的点的轨迹方程;
(3)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由。
(1)
(2)点的轨迹方程为
(3)这样的直线存在,其方程为或
(2)点的轨迹方程为
(3)这样的直线存在,其方程为或
(1)由题设,,
于是由,
因此由,
得关系式
(2)设点在直线上,则其经变换后的点满足
,
消去,得,
故点的轨迹方程为
(3)假设存在这样的直线,∵平行坐标轴的直线显然不满足条件,
∴所求直线可设为,
法一:∵该直线上的任一点,其经变换后得到的点
仍在该直线上,
∴,
即,
当时,方程组无解,
故这样的直线不存在。
当时,由
得,
解得或,
故这样的直线存在,其方程为或,
法二:取直线上一点,其经变换后的点仍在该直线上,
∴,
得,
故所求直线为,取直线上一点,其经变换后得到的点仍在该直线上。
∴,
即,得或,
故这样的直线存在,其方程为或,
于是由,
因此由,
得关系式
(2)设点在直线上,则其经变换后的点满足
,
消去,得,
故点的轨迹方程为
(3)假设存在这样的直线,∵平行坐标轴的直线显然不满足条件,
∴所求直线可设为,
法一:∵该直线上的任一点,其经变换后得到的点
仍在该直线上,
∴,
即,
当时,方程组无解,
故这样的直线不存在。
当时,由
得,
解得或,
故这样的直线存在,其方程为或,
法二:取直线上一点,其经变换后的点仍在该直线上,
∴,
得,
故所求直线为,取直线上一点,其经变换后得到的点仍在该直线上。
∴,
即,得或,
故这样的直线存在,其方程为或,
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