已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.且过点P($\frac{3}{2}$.$\frac{\sqrt{7}}{4}$).抛物线E的顶点坐标原点.焦点F(0.b)(1)求椭圆C及抛物线E的方程．(2)点Q在椭圆C上.过点Q向抛物线E引两条切线l1.l2．试判断� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点P（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{4}$），抛物线E的顶点坐标原点，焦点F（0，b）
（1）求椭圆C及抛物线E的方程．
（2）点Q在椭圆C上，过点Q向抛物线E引两条切线l₁，l₂．试判断是否存在这样的点Q，使得l₁⊥l₂．若存在，求出点Q坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，及点P满足方程，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；再由抛物线的焦点（0，1），可得抛物线的方程；
（2）假设椭圆上存在这样的点Q，使得l₁⊥l₂．设Q（m，n），及抛物线的切线方程，联立抛物线方程，运用判别式为0和韦达定理，及Q在椭圆上，得到m，n的方程，即可解得m，n的值，即可判断是否存在．

解答解：（1）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点P（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{4}$），
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{7}{16{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
由抛物线的焦点F（0，1），可得抛物线E的方程为x²=4y；
（2）假设椭圆上存在这样的点Q，使得l₁⊥l₂．
设Q（m，n），则m²+4n²=4，①
设过Q的切线方程为y-n=k（x-m），
联立抛物线方程，可得x²-4kx+4km-4n=0，
由相切的条件可得△=16k²-16km+16n=0，
由l₁⊥l₂．可得k₁k₂=-1，
即为n=-1，代入上式①可得m=0，
则椭圆上存在这样的点Q，且为（0，-1），使得l₁⊥l₂．