题目内容

如右图已知每条棱长都为3的四棱柱ABCD-ABCD中,底面是菱形,BAD=60°,D B⊥平面ABCD,长为2的线段MN的一个端点M在DD上运动,另一个端点N在底面ABCD上运动,则MN中点P的轨迹与此四棱柱的面所围成的几何体的体积为 _____________

解析试题分析:
取AB的中点E连接DE,由题意知DE⊥AB,DE⊥CD
以DE所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,以所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系
设M(0,0,z),N(x,y,0),则P,




即OP=1
∴点P的轨迹是以原点D为球心,以1为半径的球的一部分
又∵∠BAD=60°
∴∠ADC=120°
∴点P的轨迹是球的,
∴几何体的体积为
考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱的结构特征.
点评:本题考查几何体的体积,须先用代数法确定点的轨迹,然后熟练应用体积公式即可,属中档题.

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