Question

过抛物线的焦点作直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（　　）

A．相离

B．相切

C．相交

D．不确定

Answer 1

分析：设抛物线为标准抛物线：y²=2px（p＞0 ），过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M且到准线的距离是d．设P到准线的距离d₁=|PF|，Q到准线的距离d₂=|QF|．结合中位线的定义与抛物线的定义可得：

|PF|+|QF|

2

=

|PQ|

2

=半径，进而得到答案．

解答：解：不妨设抛物线为标准抛物线：y²=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．
设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．
而P到准线的距离d₁=|PF|，Q到准线的距离d₂=|QF|．
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=

|PF|+|QF|

2

，
由抛物线的定义可得：

|PF|+|QF|

2

=

|PQ|

2

=半径．
所以圆心M到准线的距离等于半径，
所以圆与准线是相切．
故选B．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系的判定．