题目内容
已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点M(
，
)．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）函数f（x）的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数．
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）函数f（x）的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数．
分析：（Ⅰ）由函数的最大值为1，得到A的值为1，将A的值代入函数解析式，又图象经过M点，把M的坐标代入函数解析式，利用特殊角的三角函数值列出关于φ的方程，求出方程的解即可得到φ的值；
（Ⅱ）把第一问求出的A和φ的值代入确定出函数解析式，根据正弦函数的单调区间为[2kπ-
，2kπ+
]，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的单调递增区间；
（Ⅲ）把第一问求出的函数解析式变形，再根据平移规律：左加右减，可得第一问确定出的函数的图象向右平移
个单位，得到y=sin2x，且函数为奇函数，满足题意．
（Ⅱ）把第一问求出的A和φ的值代入确定出函数解析式，根据正弦函数的单调区间为[2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（Ⅲ）把第一问求出的函数解析式变形，再根据平移规律：左加右减，可得第一问确定出的函数的图象向右平移
| π |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ）依题意得：A=1，由其图象经过点M(
，
)，
∴sin(
+φ)=
，（1分）
∴
+φ=2kπ+
，k∈Z，或
+φ=2kπ+
，k∈Z，（3分）
∵0＜φ＜π，
∴由φ=2kπ+
，k∈Z，得φ=
；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=sin(2x+
)，
∴f（x）的单调递增区间满足2x+
∈[2kπ-
，2kπ+
]，k∈Z（6分）
∴f（x）的增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x)=sin(2x+
)=sin2(x+
)，
∴可将函数f（x）的图象向右平移
个单位，得到y=sin2x，且该函数为奇函数．（12分）
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
∴sin(
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∵0＜φ＜π，
∴由φ=2kπ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)=sin(2x+
| π |
| 3 |
∴f（x）的单调递增区间满足2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴f（x）的增区间为[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f(x)=sin(2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴可将函数f（x）的图象向右平移
| π |
| 6 |
点评：此题考查了y=Asin（ωx+φ）解析式的确定及图象的平移变换，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，其中确定出已知三角函数的解析式是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目