Question

已知函数f(x)=

a

x

+lnx-1，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在P（1，y₀）处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据曲线y=f（x）在P（1，y₀）处的切线平行于直线y=-x+1，求出函数的字母系数，对函数求导，使得导函数大于0，在定义域中求出函数的单调区间．
（2）现出函数的最大值，对函数求导求出函数的单调区间，看出函数的最大值，根据在自变量的定义域内函数大于0恒成立，根据函数的思想求出a的值．

解答：解：(1)直线y=-x+1斜率kAB=1，函数y=f(x)的导数f′(x)=-

a

x2

+

1

x

f′(1)=-a+1=-1，即a=2 ∴f(x)= 2 x +lnx-1，f′(x)=- 2 x2 + 1 x = x-2 x2 ∵f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=- 2 x2 + 1 x = x-2 x2 由f′(x)＞0得x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2． ∴函数f(x)的单调增区间(2，+∞)，单调减区间是(0，2)

（2）∵a＞0，f（x）＞0，对x∈（0，2e]恒成立，
即

a

x

+lnx-1＞0对x∈(0，2e]恒成立
设a＞x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，
g^′（x）=1-lnx-1=-lnx
当0＜x＜1时，g^′（x）＞0，g（x）为增函数，
当1＜x＜2e，g^′（x）＜0，g（x）为减函数，
∴当x=1时，函数在（0，2e]上取得最大值，
∴g（x）≤g（1）=1
∴a的取值范围是（1，+∞）

点评：本题考查函数的综合题目，解题的关键是根据函数的导函数的正负确定函数的单调区间，本题还要注意恒成立问题．