Question

某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为[80，90）、[90，100）、[100，110）、[110，120）、[120，130），由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：

（Ⅰ）完成下面2×2列联表，你能有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；

	成绩小于100分	成绩不小于100分	合计
甲班	a= 12	b= 38	50
乙班	c=24	d=26	50
合计	e= 36	f= 64	100

（Ⅱ）现从乙班50人中任意抽取3人，记ξ表示抽到测试成绩在[100，120）的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．
附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.204	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，a=0.024×10×50=12，b=50-12=38，e=12+24=36，f=38+26=64，利用公式计算K²，与临界值比较，即可求得结论；
（Ⅱ）确定乙班测试成绩在[100，120）的有25人，ξ可取0，1，2，3，计算相应的概率，从而可得分布列，即可求得数学期望．

解答：解：（Ⅰ）由题意，a=0.024×10×50=12，b=50-12=38，e=12+24=36，f=38+26=64，…（2分）
∴K2=

100×(24×38-26×12)2

50×50×36×64

=6.25，…（4分）
∵P（K²＞5.204）=0.025，
∴有97.5%的把握认为这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”…（6分）
（Ⅱ）乙班测试成绩在[100，120）的有25人，ξ可取0，1，2，3，…（8分）
P（ξ=0）=

C 0 25 C 3 25

C 3 50

=

23

196

，P（ξ=1）=

C 1 25 C 2 25

C 3 50

=

75

196

P（ξ=2）=

C 2 25 C 1 25

C 3 50

=

75

196

，P（ξ=3）=

C 3 25 C 0 25

C 3 50

=

23

196

ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	23 196	75 196	75 196	23 196

（10分）
Eξ=0×

23

196

+1×

75

196

+2×

75

196

+3×

23

196

=

3

2

．   …（12分）

点评：本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定离散型随机变量的取值，计算相应的概率．