题目内容

设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，AC=BC=1，CD= $数学公式$ ．（1）求三棱锥A-BCD的体积V_A-BCD；（2）异面直线AB和CD所成的角的大小．

解：（1）∵A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O
∴OA是三棱锥的高
∵BC=1，CD= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2）如图

，取BC中点F，AC中点E，连接EF，OE，OF
∵EF∥AB，OF∥CD
∴∠EFO即为异面直线AB和CD所成的角
在△EFO中，EF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
OF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，OE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴∠FEO=90°，∠EFO=45°
∴异面直线AB和CD所成的角的大小为45°
分析：（1）因为A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，所以OA是三棱锥的高，在直角三角形AOC中可计算AO，再计算底面BCD的面积，利用锥体的体积计算公式即可得所求体积；（2）取BC中点F，AC中点E，利用三角形中位线定理证明∠EFO即为异面直线AB和CD所成的角，再在△EFO中分别计算三边的长，利用解直角三角形知识即可求得此角
点评：本题考查了空间的线面关系，三棱锥的体积计算公式，异面直线所成的角的作法、证法、算法，直角三角形中的边角计算