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【题目】【河南省2017届高中毕业年级考前预测数学(理)】已知圆与直线
相切,设点
为圆上一动点,
轴于
,且动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)直线与直线
垂直且与曲线
交于
两点,求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)先利用直线和圆相切求出圆的方程,再利用平面向量共线和“相关点法”求曲线的方程;(2)利用两直线间的垂直关系设出直线方程,再联立直线和椭圆的方程,得到关于
的一元二次方程,利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到表达式,再利用基本不等式求其最值.
试题解析:(1)设动点,
,因为
轴于
,所以
,
由题意得: ,
所以圆的方程为
.
由题意, ,所以
,
所以,即
将代入圆
,得动点
的轨迹方程
.
(2)由题意可设直线,设直线
与椭圆
交于
,
,
联立方程,得
,
,解得
,
,
又因为点到直线
的距离
,
,
.
(当且仅当,即
时取到最大值)
∴面积的最大值为
.
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