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【题目】【河南省2017届高中毕业年级考前预测数学(理)】已知圆与直线相切,设点为圆上一动点, 轴于,且动点满足,设动点的轨迹为曲线

(1)求曲线的方程;

(2)直线与直线垂直且与曲线交于两点,求面积的最大值.

【答案】(1);(2)

【解析】试题分析:(1)先利用直线和圆相切求出圆的方程,再利用平面向量共线和“相关点法”求曲线的方程;(2)利用两直线间的垂直关系设出直线方程,再联立直线和椭圆的方程,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到表达式,再利用基本不等式求其最值.

试题解析:(1)设动点 ,因为轴于,所以

由题意得:

所以圆的方程为.

由题意, ,所以

所以,即

代入圆,得动点的轨迹方程.

(2)由题意可设直线,设直线与椭圆交于

联立方程,得

,解得

又因为点到直线的距离

.

(当且仅当,即时取到最大值)

面积的最大值为

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