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【题目】【河南省2017届高中毕业年级考前预测数学（理）】已知圆
与直线
相切，设点
为圆上一动点， 
轴于
，且动点
满足
，设动点
的轨迹为曲线
．
（1）求曲线
的方程；
（2）直线
与直线
垂直且与曲线
交于
两点，求
面积的最大值．
【答案】（1）
；（2）
．
【解析】试题分析：（1）先利用直线和圆相切求出圆的方程，再利用平面向量共线和“相关点法”求曲线
的方程；（2）利用两直线间的垂直关系设出直线方程，再联立直线和椭圆的方程，得到关于
的一元二次方程，利用根与系数的关系和三角形的面积公式得到表达式，再利用基本不等式求其最值.
试题解析：（1）设动点
， 
，因为
轴于
，所以
，
由题意得： 
，
所以圆
的方程为
.
由题意， 
，所以
，
所以
，即
将
代入圆
，得动点
的轨迹方程
.
（2）由题意可设直线
，设直线
与椭圆
交于
， 
，
联立方程
，得
，
，解得
，
，
又因为点
到直线
的距离
， 
，
.
（当且仅当
，即
时取到最大值）
∴
面积的最大值为
．
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