题目内容

本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵M=
01
10
,N=
0-1
10

(Ⅰ)求矩阵NN;
(Ⅱ)若点P(0,1)在矩阵M对应的线性变换下得到点P′,求P′的坐标.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是
x=t
y=2t+1
(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ(Ⅰ)在直角坐标系xOy中,求圆C的直角坐标方程
(Ⅱ)求圆心C到直线l的距离.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-1|
(Ⅰ)解不等式f(x)>2;
(Ⅱ)求函数y=f(-x)+f(x+5)的最小值.
分析:(1)(Ⅰ)利用矩阵的乘法,可求矩阵NN;
(Ⅱ)设P′=(x,y),利用二阶矩阵与平面列向量的乘法,可求P′的坐标;
(2)(Ⅰ)ρ=2cosθ可化为ρ2=2ρcosθ,即x2+y2=2x为圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)圆心C(1,0),直线l的普通方程为2x-y+1=0,利用点到直线的距离公式,可求圆心C到直线l的距离;
(3)(Ⅰ)利用绝对值的几何意义,不等式|x-1|>2,可化为x-1>2或x-1<-2,从而可求原不等式的解集;
(Ⅱ)函数y=f(-x)+f(x+5)=|-x-1|+|x+4|≥|-x-1+x+4|=3,故可得函数y=f(-x)+f(x+5)的最小值.
解答:(1)解:(Ⅰ)MN=
01
10
0-1
10
=
10
0-1

(Ⅱ)设P′=(x,y),则
01
10
0
1
  =
x
y

所以,x=1,y=0,∴P′=(1,0)
(2)解:(Ⅰ)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x;
(Ⅱ)圆心C(1,0),直线l的普通方程为2x-y+1=0…(5分)∴圆心C到直线l的距离为d=
|2+1|
5
=
3
5
5
.…(7分)
(3)解:(Ⅰ)∵|x-1|>2
∴x-1>2或x-1<-2
∴x>3或x<-1
∴原不等式的解集为{x|x>3或x<-1}
(Ⅱ)函数y=f(-x)+f(x+5)=|-x-1|+|x+4|≥|-x-1+x+4|=3
∴函数y=f(-x)+f(x+5)的最小值为3
点评:本题考查矩阵与变换、考查直线与圆的极坐标与参数方程,极坐标方程、参数方程与直角坐标方程、普通方程的互化等基础知识,考查绝对值不等式解法、最值求解等基础知识,考查运算求解能力,化归与转化思想及数形结合思想.
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