题目内容
已知圆M：(x+
)2+y2=36，定点N（
，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足
=2
，
•
=0．
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作斜率为k的直线l，与曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得
•
≤-1？若存在，求出直线l的斜率k的取值范围；若不存在，请说明理由．
| 5 |
| 5 |
| NP |
| NQ |
| GQ |
| NP |
（1）求点G的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作斜率为k的直线l，与曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线l，使得
| OA |
| OB |
分析：（1）点Q在NP上，点G在MP上，由已知有|GN|+|GM|=|MP|=6，由椭圆的定义知G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，由定义写出其标准方程即可得到点G的轨迹C的方程．
（2）令A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2+y1y2＜-1，由直线l与曲线C联立求利用根与系数的关系求出x1x2，y1y2的参数表达式，代入求直线的斜率k的范围．
（2）令A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2+y1y2＜-1，由直线l与曲线C联立求利用根与系数的关系求出x1x2，y1y2的参数表达式，代入求直线的斜率k的范围．
解答：解：由已知，Q为PN的中点且GQ⊥PN⇒GQ为PN的中垂线⇒|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=
，
∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是
+
=1
（II）设l的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）
由
⇒（9k2+4）x2-36k2x+36（k2-1）=0
∴x1+x2=
x1x2=
①
y1y2=[k（x1-2）][k（x2-2）]=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=
②
•
≤-1，即x1x2+y1y2＜-1
把①、②代入上式x1x2+y1y2=0得-
＜k＜
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=
| 5 |
∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（II）设l的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）
由
|
∴x1+x2=
| 36k2 |
| 9k2+4 |
x1x2=
| 36(k2-1) |
| 9k2+4 |
y1y2=[k（x1-2）][k（x2-2）]=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=
| 20k2 |
| 9k2+4 |
| OA |
| OB |
把①、②代入上式x1x2+y1y2=0得-
4
| ||
| 65 |
4
| ||
| 65 |
点评：本题的考点是轨迹方程，考查了定义法求椭圆的轨迹方程与直线与椭圆的相交问题，直线与椭圆的关系问题是圆锥曲线中一类常考的综合题，其规律是联立方程⇒消元得关于x，或y的一元二次方程，再利用根系关系得到两个直线的交点的坐标满足的方程，学习时应注意总结这一共性．
练习册系列答案
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