Question

7．设g（x）二阶可导，确定a，b，c，使函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+bx+c，x＞0}\\{g（x），x≤0}\end{array}\right.$，在x=0处二阶可导．

Answer 1

分析 首先在x＜0和x＞0上f（x）显然都二阶可导（g（x）二阶可导，二次函数也二阶可导），只需要讨论x=0处可导表连续，即函数值左极限=右极限，二阶可导表示一阶也可导，即一阶导数函数值左极限=右极限，二阶可导，即二阶导数函数值左极限=右极限，即求出a，b，c的值．

解答 解：首先在x＜0和x＞0上f（x）显然都二阶可导（g（x）二阶可导，二次函数也二阶可导），
只需要讨论x=0处可导表连续，即函数值左极限=右极限，
即$\underset{lim}{x→0-}$f（x）=$\underset{lim}{x→0+}$f（x），
∴$\underset{lim}{x→0-}$f（x）=$\underset{lim}{x→0-}$ （ax²+bx+c），
∴g（0）=c，
∵二阶可导表示一阶也可导，即一阶导数函数值左极限=右极限，
∴$\underset{lim}{x→0-}$f′（x）=$\underset{lim}{x→0+}$f′（x），
∴$\underset{lim}{x→0-}$f′（x）=$\underset{lim}{x→0-}$ （2ax+b），
∴g'（0）=b（g'（0）存在因为g（x）二阶可导），
∵二阶可导，即二阶导数函数值左极限=右极限
∴$\underset{lim}{x→0-}$f″（x）=$\underset{lim}{x→0+}$f″（x），
∴$\underset{lim}{x→0-}$f″（x）=$\underset{lim}{x→0-}$ 2a，
∴g″（0）=2a，
∴a=$\frac{1}{2}$g″（0），
∴需要f（x）二阶可导，必然有
a=$\frac{1}{2}$g″（0），b=g'（0），c=g（0）

点评 本题考查了二阶导数和函数的函数的连续性，以及分类讨论的思想，关键是得到左极限=右极限，属于中档题．