Question

若函数对任意的，均有，则称函数具有性质.
（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由.
①；   ②.
（Ⅱ）若函数具有性质，且（），
求证：对任意有；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意均有.若成立给出证明，若不成立给出反例.

Answer 1

（Ⅰ）证明：①函数具有性质.                    ……………1分
，
因为，，                                ……………3分
即，
此函数为具有性质.
②函数不具有性质.                                ……………4分
例如，当时，，
，                            ……………5分
所以，，
此函数不具有性质.
（Ⅱ）假设为中第一个大于的值，    ……………6分
则，
因为函数具有性质，
所以，对于任意，均有，
所以，
所以，
与矛盾，
所以，对任意的有.                  ……………9分
（Ⅲ）不成立.
例如                             ……………10分
证明：当为有理数时，均为有理数，
，
当为无理数时，均为无理数，

所以，函数对任意的，均有，
即函数具有性质.                                      ……………12分
而当（）且当为无理数时，.
所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意均有”不成立.……………13分
（其他反例仿此给分.
如，，，等.） 

解析