题目内容
若函数对任意的,均有,则称函数具有性质.
(Ⅰ)判断下面两个函数是否具有性质,并说明理由.
①; ②.
(Ⅱ)若函数具有性质,且(),
求证:对任意有;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否对任意均有.若成立给出证明,若不成立给出反例.
【答案】
(Ⅰ)证明:①函数具有性质. ……………1分
,
因为,, ……………3分
即,
此函数为具有性质.
②函数不具有性质. ……………4分
例如,当时,,
, ……………5分
所以,,
此函数不具有性质.
(Ⅱ)假设为中第一个大于的值, ……………6分
则,
因为函数具有性质,
所以,对于任意,均有,
所以,
所以,
与矛盾,
所以,对任意的有. ……………9分
(Ⅲ)不成立.
例如 ……………10分
证明:当为有理数时,均为有理数,
,
当为无理数时,均为无理数,
所以,函数对任意的,均有,
即函数具有性质. ……………12分
而当()且当为无理数时,.
所以,在(Ⅱ)的条件下,“对任意均有”不成立.……………13分
(其他反例仿此给分.
如,,,等.)
【解析】略
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