题目内容

若函数对任意的,均有,则称函数具有性质.

(Ⅰ)判断下面两个函数是否具有性质,并说明理由.

;    ②.

(Ⅱ)若函数具有性质,且),

求证:对任意

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否对任意均有.若成立给出证明,若不成立给出反例.

 

 

【答案】

(Ⅰ)证明:①函数具有性质.                     ……………1分

因为,                                 ……………3分

此函数为具有性质.

②函数不具有性质.                                 ……………4分

例如,当时,

,                             ……………5分

所以,

此函数不具有性质.

(Ⅱ)假设中第一个大于的值,     ……………6分

因为函数具有性质

所以,对于任意,均有

所以

所以

矛盾,

所以,对任意的.                   ……………9分

(Ⅲ)不成立.

例如                              ……………10分

证明:当为有理数时,均为有理数,

为无理数时,均为无理数,

所以,函数对任意的,均有

即函数具有性质.                                      ……………12分

而当)且当为无理数时,.

所以,在(Ⅱ)的条件下,“对任意均有”不成立.……………13分

(其他反例仿此给分.

,等.) 

【解析】略

 

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