Question

若函数对任意的，均有，则称函数具有性质.

（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由.

①；    ②.

（Ⅱ）若函数具有性质，且（），

求证：对任意有；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意均有.若成立给出证明，若不成立给出反例.

Answer 1

（Ⅰ）证明：①函数具有性质.                     ……………1分

，

因为，，                                 ……………3分

即，

此函数为具有性质.

②函数不具有性质.                                 ……………4分

例如，当时，，

，                             ……………5分

所以，，

此函数不具有性质.

（Ⅱ）假设为中第一个大于的值，     ……………6分

则，

因为函数具有性质，

所以，对于任意，均有，

所以，

所以，

与矛盾，

所以，对任意的有.                   ……………9分

（Ⅲ）不成立.

例如                              ……………10分

证明：当为有理数时，均为有理数，

，

当为无理数时，均为无理数，

所以，函数对任意的，均有，

即函数具有性质.                                      ……………12分

而当（）且当为无理数时，.

所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意均有”不成立.……………13分

（其他反例仿此给分.

如，，，等.）