Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+1=S_n-n+3，n∈N⁺，a₁=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）设bn=

n

Sn-n+2

(n∈N+)的前n项和为T_n，证明：T_n＜

4

3

．

Answer 1

分析：（1）根据题中所给的a_n+1=S_n-n+3，可得a_n=s_n-1-（n-1）+3，两者相减即可得出递推式，进而求出数列{a_n}的通项．
（2）根据题中所给的式子，求出b_n的通项公式，进而求出的前n项和T_n，再比较它与

4

3

的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=S_n-n+3，n≥2时，a_n=S_n-1-（n-1）+3，（2分）∴a_n+1-a_n=a_n-1，即a_n+1=2a_n-1，∴a_n+1-1=2（a_n-1），（n≥2，n∈N*），（4分）∴a_n-1=（a₂-1）2^n-2=3•2^n-2a_n=

2，n=1 3•2n-2+1，n≥2

（6分）
（Ⅱ）∵S_n=a_n+1+n-3=3•2^n-1+n-2，∴bn=

n

3•2n-1

（8分）∴Tn=

1

3

(1+

2

2

+

3

22

++

n

2n-1

)

1

2

Tn=

1

3

(

1

2

+

2

22

+

3

23

++

n

2n

)
相减得，

1

2

Tn=

1

3

(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

-

n

2n

)，（10分）
∴Tn=

4

3

(1-

1

2n

)-

2

3

•

n

2n

＜

4

3

．（12分）
∴结论成立．

点评：此题主要考查根据数列通项公式之间关系求解及相关计算．