题目内容

给出下列命题:
(1)函数f(x)=tanx有无数个零点;
(2)若关于x的方程((
1
2
)|x|-m=0
有解,则实数m的取值范围是(0,1];
(3)把函数f(x)=2sin2x的图象沿x轴方向向左平移
π
6
个单位后,得到的函数解析式可以表示成f(x)=2sin2(x+
π
6
);
(4)函数f(x)=
1
2
sinx+
1
2
|sinx|的值域是[-1,1];
(5)已知函数f(x)=2cosx,若存在实数x1,x2,使得对任意的实数x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为2π.
其中正确的命题有
3
3
个.
分析:(1)由正切函数f(x)=tanx的性质即可判断其正误;
(2)利用指数型函数y=(
1
2
)
|x|
的性质即可判断(2)的正误;
(3)由三角函数的图象变换即可知(3)的正误;
(4)利用函数f(x)=
1
2
sinx+
1
2
|sinx|的性质可求其值域,从而可知(4)的正误;
(5)利用余弦函数f(x)=2cosx的性质可判断(5).
解答:解:(1)由y=tanx=0可得x=kπ(k∈Z),故函数f(x)=tanx有无数个零点,正确;
(2)∵(
1
2
)
|x|
-m=0有解?曲线y=(
1
2
)
|x|
与y=m有公共点,
∵指数型函数y=(
1
2
)
|x|
的值域为(0,1],
∴实数m的取值范围是(0,1],正确;
(3)∵f(x)=2sin2x,
∴把函数f(x)=2sin2x的图象沿x轴方向向左平移
π
6
个单位后,得f(x+
π
6
)=2sin2(x+
π
6
),故(3)正确;
(4)∵f(x)=
1
2
sinx+
1
2
|sinx|的值域是[0,1],故(4)错误;
(5)不妨令x1=π,x2=0,满足对任意的实数x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,故|x1-x2|的最小值为π,
∴(5)错误.
综上所述,正确的命题有3个.
故答案为:3.
点评:本题考查命题的真假判断与应用,考查正切函数的性质,考查指数型函数、三角函数的图象变换、正弦型函数与余弦函数的性质的综合应用,属于中档题.
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