题目内容

定义在R上的连续函数f（x），若（x-1）f'（x）＜0，则下列各式正确的是（ ）
A．f（0）+f（2）＞2f（1）
B．f（0）+f（2）=2f（1）
C．f（0）+f（2）＜2f（1）
D．f（0）+f（2）与f（1）大小不定
【答案】分析：利用（x-1）f'（x）＜0，得到x＞1时，f'（x）＜0；x＜1时，f'（x）＞0；得到f（x）在（1，+∞）递减；在（-∞，1）递增；判断出函数值的大小．
解答：解：因为（x-1）f'（x）＜0，
所以x＞1时，f'（x）＜0；x＜1时，f'（x）＞0；
所以f（x）在（1，+∞）递减；在（-∞，1）递增；
所以f（0）＜f（1），
f（2）＜f（1）
所以f（0）+f（2）＜2f（1）
故选C．
点评：解决函数的单调性问题，常利用函数的导数与函数单调性的关系来解决．
练习册系列答案
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14、对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点．函数y=x+2的零点是
-2
；若函数y=f（x）和g（x）均是定义在R上的连续函数，且部分函数值分别由下表给出：

则当x=
1
时，函数f（g（x））在区间（x，x+1）上必有零点．
12、已知f（x）与g（x）是定义在R上的连续函数，如果f（x）与g（x）仅当x=0时的函数值为0，且f（x）≥g（x），那么下列情形不可能出现的是（　　）
已知定义在R上的连续函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为y=-
12
x+2，则f（1）+f′（1）=
 
．
若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，且阶数为a．
（Ⅰ）试判断函数f（x）=x2是否是一个回旋函数；
（Ⅱ）已知f（x）=sinωx是回旋函数，求实数ω的值；
（Ⅲ）若对任意一个阶数为a的回旋函数f（x），方程f（x）=0均有实数根，求a的取值范围．
已知定义在R上的连续函数y=f（x）对任意x满足f（3-x）=f（x），（x-
3
2
）f′（x）＞0，则下列命题正确的有
①②④
①②④
．
①函数y=f（x+
3
2
）为偶函数；
②若x1＜x2且x1+x2＞3，则f（x1）＜f（x2）；
③f（
2
）＞f（sin14°+cos14°）；
④若f（
3
2
）•f（5）＜0，则y=f（x）有两个零点．

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