题目内容

附加题：已知函数 $数学公式$ ，且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求 $数学公式$ 的值；
（Ⅱ）若函数 $数学公式$ 在区间 $数学公式$ 上单调递增，求实数k的取值范围；
（III）是否存在实数m使方程3f²（x）-f（x）+m=0在 $数学公式$ 内仅有一解，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（2分）根据题意， $\text{[math]}$ ，即T=π，所以 $\text{[math]}$ ，即ω=1．（4分）
从而 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ．（6分）
（Ⅱ）因为 $\text{[math]}$ ，k＞0，（8分）
则当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．（9分）
据题意， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
故实数k的取值范围是 $\text{[math]}$ ．（12分）
（III）∵ $\text{[math]}$ ，∴0＜f（x）≤1，设f（x）=t，
问题转化为探究是否存在实数m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]内仅有一根或两个相等实根．（14分）
又∵ $\text{[math]}$ ，（16分）
所以直线y=m与二次函数y=-3t²+t，t∈（0，1]的图象有唯一公共点，由图象可知， $\text{[math]}$ ；（19分）
所以实数m的取值范围为 $\text{[math]}$ ．（20分）

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 $\text{[math]}$ ，由此根据它的周期求出ω的值，即可求得 $\text{[math]}$ 的值．
（Ⅱ）因为 $\text{[math]}$ ，k＞0，则当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，根据题意得 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ，有此解得实数k的取值范围．
（III）问题转化为探究是否存在实数m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]内仅有一根或两个相等实根，即直线y=m与二次函数y=-3t²+t，t∈（0，1]的图象有唯一公共点，由图象可得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征性质的应用，二次函数的性质，体现了数形结合以及等价转化的数学思想，属于中档题．