题目内容
附加题:已知函数
,且函数y=f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)若函数
在区间
上单调递增,求实数k的取值范围;
(III)是否存在实数m使方程3f2(x)-f(x)+m=0在
内仅有一解,若存在,求出实数m的取值范围,若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)∵
=
=
=
.(2分) 根据题意,
,即T=π,所以
,即ω=1.(4分)
从而
,故
.(6分)
(Ⅱ)因为
,k>0,(8分)
则当
时,
.(9分)
据题意,
,所以
,解得
.
故实数k的取值范围是
.(12分)
(III)∵
,∴0<f(x)≤1,设f(x)=t,
问题转化为探究是否存在实数m的值使方程3t2-t+m=0在(0,1]内仅有一根或两个相等实根.(14分)
又∵
,(16分)
所以直线y=m与二次函数y=-3t2+t,t∈(0,1]的图象有唯一公共点,由图象可知,
;(19分)
所以实数m的取值范围为
.(20分)

分析:(Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为
,由此根据它的周期求出ω的值,即可求得
的值.
(Ⅱ)因为
,k>0,则当
时,
,根据题意得
,故
,有此解得实数k的取值范围.
(III)问题转化为探究是否存在实数m的值使方程3t2-t+m=0在(0,1]内仅有一根或两个相等实根,即直线y=m与二次函数y=-3t2+t,t∈(0,1]的图象有唯一公共点,由图象可得实数m的取值范围.
点评:本题主要考查三角函数的恒等变换,利用y=Asin(ωx+∅)的图象特征性质的应用,二次函数的性质,体现了数形结合以及等价转化的数学思想,属于中档题.


=




从而


(Ⅱ)因为

则当


据题意,



故实数k的取值范围是

(III)∵

问题转化为探究是否存在实数m的值使方程3t2-t+m=0在(0,1]内仅有一根或两个相等实根.(14分)
又∵

所以直线y=m与二次函数y=-3t2+t,t∈(0,1]的图象有唯一公共点,由图象可知,

所以实数m的取值范围为


分析:(Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为


(Ⅱ)因为





(III)问题转化为探究是否存在实数m的值使方程3t2-t+m=0在(0,1]内仅有一根或两个相等实根,即直线y=m与二次函数y=-3t2+t,t∈(0,1]的图象有唯一公共点,由图象可得实数m的取值范围.
点评:本题主要考查三角函数的恒等变换,利用y=Asin(ωx+∅)的图象特征性质的应用,二次函数的性质,体现了数形结合以及等价转化的数学思想,属于中档题.

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