Question

附加题：已知函数f(x)=sin2ωx+

3

cosωx•cos(

π

2

-ωx)-

1

2

，(其中ω＞0)，且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求f(

π

6

)的值；
（Ⅱ）若函数f(kx+

π

12

)(k＞0)在区间[-

π

6

，

π

3

]上单调递增，求实数k的取值范围；
（III）是否存在实数m使方程3f²（x）-f（x）+m=0在(

π

12

，

π

3

]内仅有一解，若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin(2ωx-

π

6

)，由此根据它的周期求出ω的值，即可求得f(

π

6

)的值．
（Ⅱ）因为f(kx+

π

12

) = sin2kx，k＞0，则当-

π

6

≤x≤

π

3

时，-

kπ

3

≤2kx≤

2kπ

3

，根据题意得[-

kπ

3

，

2kπ

3

]⊆[-

π

2

，

π

2

]，故

- kπ 3 ≥- π 2 2kπ 3 ≤ π 2 k＞0

，有此解得实数k的取值范围．
（III）问题转化为探究是否存在实数m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]内仅有一根或两个相等实根，即直线y=m与二次函数y=-3t²+t，t∈（0，1]的图象有唯一公共点，由图象可得实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sin2ωx+

3

cosωx•cos(

π

2

-ωx)-

1

2

=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

 
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx=sin(2ωx-

π

6

)．（2分）  根据题意，

T

2

=

π

2

，即T=π，所以

2π

2ω

=π，即ω=1．（4分）
从而f(x)=sin(2x-

π

6

)，故f(

π

6

)=sin(

2π

6

-

π

6

)=sin

π

6

=

1

2

．（6分）
（Ⅱ）因为f(kx+

π

12

)=sin[2(kx+

π

12

)-

π

6

]=sin2kx，k＞0，（8分）
则当-

π

6

≤x≤

π

3

时，-

kπ

3

≤2kx≤

2kπ

3

．（9分）
据题意，[-

kπ

3

，

2kπ

3

]⊆[-

π

2

，

π

2

]，所以

- kπ 3 ≥- π 2 2kπ 3 ≤ π 2 k＞0

，解得0＜k≤

3

4

．
故实数k的取值范围是(0，

3

4

]．（12分）
（III）∵x∈(

π

12

，

π

3

]，0＜2x-

π

6

≤

π

2

，∴0＜f（x）≤1，设f（x）=t，
问题转化为探究是否存在实数m的值使方程3t²-t+m=0在（0，1]内仅有一根或两个相等实根．（14分）
又∵m=-3t2+t=-3(t2-

1

3

t)=-3(t-

1

6

)2+

1

12

，t∈(0，1]，（16分）
所以直线y=m与二次函数y=-3t²+t，t∈（0，1]的图象有唯一公共点，由图象可知，m=

1

12

或-2≤m≤0；（19分）
所以实数m的取值范围为{

1

12

}∪[-2，0]．（20分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征性质的应用，二次函数的性质，体现了数形结合以及等价转化的数学思想，属于中档题．