题目内容
【题目】已知椭圆的长轴长为4,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右顶点作互相垂直的两条直线
分别交椭圆
于
两点(点
不同于椭圆
的右顶点),证明:直线
过定点
.
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)由椭圆的对称性知两点关于原点对称,不妨设
在第一象限,由弦长可得
,代入
,再结合
可解得
;
(2)只要设出直线方程:,把
代入椭圆方程可解得M点坐标,同理可解得N点坐标,由两点求出直线MN的方程(注意分类讨论MN与
垂直和不垂直两种情形),通过直线方程可观察出直线所过定点.
详解:(1)根据题意,设直线与题意交于
两点.不妨设
点在第一象限,又
长为
,
∴,∴
,可得
,
又,
∴,故题意
的标准方程为
,
(2)显然直线的斜率存在且不为0,设
,
由得
,∴
,
同理可得
当时,
,所以直线
的方程为
整理得,所以直线
当时,直线
的方程为
,直线也过点
所以直线过定点
.
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