Question

16．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点P在棱AA1上，若三棱锥P-BB₁C₁与三棱锥P-A₁B₁C₁的体积比为3，则$\frac{P{A}_{1}}{PA}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 不适一般性，以正三棱柱为例，设底面边长为a，高为h，PA₁=h′，求出三棱锥P-BB₁C₁与三棱锥P-A₁B₁C₁的体积，利用三棱锥P-BB₁C₁与三棱锥P-A₁B₁C₁的体积比为3，求出$\frac{P{A}_{1}}{PA}$．

解答 解：不适一般性，以正三棱柱为例，设底面边长为a，高为h，PA₁=h′，则
三棱锥P-BB₁C₁的体积为$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×h×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{2}h$，
三棱锥P-A₁B₁C₁的体积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}h′$=$\frac{\sqrt{3}}{12}ah′$，
∵三棱锥P-BB₁C₁与三棱锥P-A₁B₁C₁的体积比为3，
∴h=3h′，
∴$\frac{P{A}_{1}}{PA}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题考查三棱锥的体积的计算，考查学生的计算能力，正确求体积是关键．