Question

12．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q分别是线段CC₁，BD上的点，满足PQ∥平面AC₁D₁，则PQ与平面BDD₁B₁所成角的范围是（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 ：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PQ与平面BDD₁B₁所成角的范围．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系
则A（1，0，0），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，1，1），
设平面AC₁D₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-x+y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
设P（0，1，t），Q（a，b，0），a，b，t∈[0，1），$\overrightarrow{DQ}=λ\overrightarrow{DB}$，0≤λ＜1，
∴（a，b，0）=（λ，λ，0），∴Q（λ，λ，0），$\overrightarrow{PQ}=（λ，λ-1，-t）$，
∵PQ∥平面AC₁D₁，∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{n}=λ-t=0$，t=λ，∴$\overrightarrow{PQ}=（λ，λ，-λ）$，
∵AC⊥平面BDD₁B₁，∴平面BDD₁B₁的一个法向量$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
设PQ与平面BDD₁B₁所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{AC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{PQ}|•|\overrightarrow{AC}|}$|
=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{3{λ}^{2}-2λ+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{3（λ-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}}$，0≤λ＜1，
∴λ=$\frac{1}{3}$时，（sinθ）_max=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{2}{3}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时$θ=\frac{π}{3}$，
λ=1时，（sinθ）_min=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，此时$θ=\frac{π}{6}$，
∴PQ与平面BDD₁B₁所成角的范围是（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．
故答案为：$（\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$．

点评 本题考查直线与平面所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．