Question

已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；

（3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。

Answer 1

（1）（2）增区间为(3)见解析

解析:

（1）时，， 则 ， ∵函数是定义在上的奇函数，即，∴，

即 ，又可知 ，∴函数的解析式为  ，；

（2），∵，，∴，

∵ ，∴，

即 时， 。

猜想在上的单调递增区间为。

（3）时，任取，

∵， ∴在上单调递增，即，即，，

∴，∴，∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。