题目内容
15、f（x）是定义域在R上的函数，已知：f（x+y）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：判断f（x）的奇偶性并证明你的结论．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：判断f（x）的奇偶性并证明你的结论．
分析：对于抽象函数的求解策略和方法为赋值法，（1）令x=y=0，代入已知条件，即可求得结果；
（2）令y=-x，代入已知条件即可判定函数的奇偶性．
（2）令y=-x，代入已知条件即可判定函数的奇偶性．
解答：解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）对于任意x，y∈R都成立．
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）
解得f（0）=0；
（2）函数f（x）是R上的奇函数．
证明：令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数．
令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）
解得f（0）=0；
（2）函数f（x）是R上的奇函数．
证明：令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数．
点评：本题考查抽象函数的有关问题，其中赋值法是常用的方法，考查函数的奇偶性的定义，属基础题．
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