题目内容

选做题：不等式选讲．
已知a，b，c是不全相等的正数，求证：
a+b
2
-
ab
a+b+c
3
-
3abc
≤
3
2
，并指出等号成立的条件．
分析：由
a+b+c
3
＞
3abc
，故不等式等价于 c+2
ab
≥3
3abc
，利用平均值不等式可证得此不等式成立．
解答：证明：∵a，b，c是不全相等的正数，∴
a+b+c
3
＞
3abc
，（2分）
故不等式等价于 2(
a+b
2
-
ab
)≤3(
a+b+c
3
-
3abc
)，即c+2
ab
≥3
3abc
．（5分）
∵a，b，c＞0，∴c+2
ab
=c+
ab
+
ab
≥3
3c•
ab
•
ab
=3
3abc
，不等式得证（8分）
取号等条件是c=
ab
，即c2=ab且a、b、c互不相等的正数 （10分）
点评：本题考查平均值不等式的应用，注意检验等号成立的条件．
练习册系列答案
相关题目
（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点A（2，π），动点B在直线ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
上运动，则线段AB的最精英家教网短长度为
 

（不等式选讲选做题）设函数f（x）=|x-1|+|x-2|，则f（x）的最小值为
 

（几何证明选讲选做题） 如图所示，等腰三角形ABC的底边AC长为6，其外接圆的半径长为5，则三角形ABC的面积是
 
．
选做题
A不等式选讲
已知a∈R，若关于x的方程x2+x+|a-
1
4
|+|a|=0有实根，求a的取值．
B坐标系与参数方程
已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ＜
π
2
，求曲线C1、C2交点的极坐标．
选做题：不等式选讲
（1）已知实数m＞0，n＞0，求证：
a2
m
+
b2
n
≥
(a+b)2
m+n
；
（2）利用（1）的结论，求函数y=
1
x
+
4
1-x
（其中x∈（0，1））的最小值．
（2011•渭南三模）选做题（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A、（不等式选讲）若关于x的方程x2+4x+|a-1|=0有实根，则实数a的取值范围为
[-3，5]
[-3，5]

B、（几何证明选讲）如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE=2，则AC=
2
3
2
3
 
C、（坐标系与参数方程）已知直线
x=1-2t
y=
3
+t.
（t为参数）与圆ρ=4cos(θ-
π
3
)相交于A、B两点，则|AB|=
4
4
．

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