题目内容
【题目】在数列{an}中，a1=1，an+1=1﹣ 
，bn= 
，其中n∈N* ．
（1）求证：数列{bn}为等差数列；
（2）设cn=bn+1（ 
） 
，数列{cn}的前n项和为Tn ， 求Tn；
（3）证明：1+ 
+ 
+…+ 
≤2 
﹣1（n∈N*）
【答案】
（1）证明：bn+1﹣bn= 
﹣ 
= 
﹣ =1，又b1=1．∴数列{bn}为等差数列，首项为1，公差为1
（2））解：由（1）可得：bn=n．
cn=bn+1（ 
） 
=（n+1） 
．
∴数列{cn}的前n项和为Tn= 
+3× 
+ 
+…+（n+1） ．
= 
+3× 
+…+n +（n+1） 
，
∴ 
Tn= + + +…+ 
﹣（n+1） = + 
﹣（n+1） ，
可得Tn= 
﹣ 
（3）证明：1+ 
+ 
+…+ 
≤2 
﹣1（n∈N*）即为：1+ 
+ 
+…+ 
≤2 ﹣1．
∵ 
= 
＜ 
=2 
（k=2，3，…）．
∴1+ + +…+ ≤1+2[（ 
﹣1）+（ 
）+…+（ ﹣ 
）]=1+2 
=2 ﹣1．
∴1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）
【解析】（1）只要证明bn+1﹣bn= ﹣ = ﹣ ，为常数．（2）由（1）可得：bn=n．cn=bn+1（ ） =（n+1） ．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．（3）1+ + +…+ ≤2 ﹣1（n∈N*）即为：1+ + +…+ ≤2 ﹣1．由于 = ＜ =2 （k=2，3，…）．利用“裂项求和方法”即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．
