题目内容
【题目】连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”.假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”.证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边.
【答案】见解析
【解析】
圆周上九个点中任三点均不共线，任四点都是一凸四边形的顶点.设这九个点为
，
，…，
.显然每个
都要与其他八个点有边相连.
（1）若存在一点向其他点引出至少四条蓝边，不妨设这四条蓝边为
，
，
，
.则
，
，
，
，
，
均为红边.即存在四点，
，
，
，其中每两点连的都是红边（如图）.
（2）若每一点向其余点引出的蓝边不多于3条.这时每两点向其余点连的红边至少为5条.如果每一点都恰引出5条红边，则九个点恰引出
条红边.这不可能，因为边数必为整数.所以，必存在某个点，比如点
，到其他点连的红边至少为6条.不妨设与，，，，，
连的
，
，
，
，
，
都是红边，这时五条边，，，，
中至少有三条同色.不妨设，，同色.
①若，，同为蓝边，因，，均为红边，此时，，，四点所连六条边均为红边（如图）.
②若，，同为红边，则
三边依条件不能全是蓝边，即至少有一条红边.不妨设为红边，这时，，，四点所连的六条边均为红边（如图）.
综上所述，问题得证.
全程金卷系列答案
【题目】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组 | [75，85) | [85，95) | [95，105) | [105，115) | [115，125) |
频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
