题目内容
(22)如图,以椭圆(a>b>0)的中心O为圆心,分别以a和b为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点F(c,0)(c>b)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点B.设直线BF是小圆的切线.(Ⅰ)证明c2=ab,并求直线BF与y轴的交点M的坐标;
(Ⅱ)设直线BF交椭圆于P、Q两点,证明·=b2.
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法,考查推理及运算能力.
(Ⅰ)证明:由题设条件知,Rt△OFA∽Rt△OBF,故
即.
因此,c2=ab.
解:在Rt△OFA中,
FA=
于是,直线OA的斜率k
k=
这时,直线BF的方程为y=(x-c),令x=0,则
y=
所以直线BF与y轴的交点为M(0,a).
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ),得直线BF的方程为y=kx+a,且
k2= ②
由已知,设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则它们的坐标满足方程组
由方程组③消去y,并整理得
(b2+a2k2)x2+
由①、②和④,
x1x2=
由方程组③消去x,并整理得
(b2+a2k2)y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0. ⑤
由式②和⑤,
y1y2=
综上,得到
·.
注意到a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2,得
·
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